다음은 θ>0, β>0, θ+β<90∘인 범위에서 중등 과정으로 sin(θ+β)=(가)임을 증명하는 과정이다.
0<β<α<90∘일 때 다음과 같이 그림을 그려보자.
여기서 피타고라스의 정리에 의해
AB=((나)−sinβ)2+(cosβ−cosα)2⋯(1) 또한 한 원 O 위의 점 A,B,P,Q에 대하여 ∠AOB=∠POQ이면 △AOB≡△POQ이다((다) 합동). 따라서 α를 α−β, β를 0∘로 바꾸어도 현의 길이는 같으므로 피타고라스의 정리에 의해
AB=sin2(α−β)+(1−(라))2⋯(2) 이다. 한편 sin2x+cos2x=1이다.
왜냐하면 빗변의 길이가 1이고 한 각의 크기가 x인 직각삼각형에서 높이는 sinx, 밑변의 길이는 cosx 이고 피타고라스의 정리에 의해 sin2x+cos2x=1이기 때문이다.
그리고 sin(90∘−α)=cosα, cos(90∘−α)=sinα이다. 그 이유는 위 그림을 통해 알 수 있다.
이때 식 (1), (2)에서
((나)−sinβ)2+(cosβ−cosα)2=sin2(α−β)+(1−(라))2 2−2(나)sinβ−2cosαcosβ=2−2(라) (라)=(나)sinβ+cosαcosβ 여기서 α=90∘−θ를 대입하면
(마)=(가) 따라서 sin(θ+β)=(가)
다음 중 옳지 않은 것을 고르시오.
