2018학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

다음은

의 값을 구하는 과정의 일부이다.

$$S_n=\frac{1^4+2^4+3^4+\cdots+n^4}{(1+2+3+\cdots+n)(1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2)}$$

이라 하면

$$S_n=\frac{\boxed{\text{(가)}}\times\sum_{k=1}^nk^4}{n^2(n+1)^2(2n+1)}=\boxed{\text{(가)}}\times\frac{\boxed{\text{(나)}}}{(n+1)^2(2n+1)}\times\sum_{k=1}^n\frac{k^4}{n^5}$$

이다. 따라서

$$\lim_{n\to\infty}S_n=6\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left\{\left(\frac kn\right)^4\frac1n\right\}$$

이므로 정적분의 정의에 의하여

$$\lim_{n\to\infty}S_n=6\int_0^1f(x)\,dx=\boxed{\text{(다)}}$$

이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 하고, (나)에 알맞은 식을 $g(n)$이라 할 때, $g(2)+\frac pq$의 값은? [4점]