2010학년도 3월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 18번

다음은 내접원과 외접원의 반지름의 길이가 각각 $3$, $8$인 예각삼각형 $ABC$의 내심을 $I$, 외심을 $O$라 할 때, 선분 $IO$의 길이를 구하는 과정이다.

그림과 같이 각 $BAC$의 이등분선이 외접원과 만나는 점을 $D$라 하면, $\widehat{BD}=\widehat{DC}$이고 점 $D$를 지나는 지름 $DM$은 선분 $BC$를 수직이등분한다.

$\angle BMD=x$라고 하면

$\angle BAD=\angle DAC=\angle DBC=x$이고

$\angle BID=\angle BAI+\angle ABI=\boxed{\text{(가)}}$

이므로 삼각형 $DBI$는 이등변삼각형이다.

$\overline{IO}$의 연장선이 외접원과 만나는 두 점을 $P$, $Q$라 하면

$\overline{AI}\cdot\overline{ID}=\overline{IP}\cdot\overline{IQ}=\boxed{\text{(나)}}-\overline{IO}^{\,2}$이다.

또, 내심 $I$에서 변 $AC$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면

$$\sin x=\frac{\overline{IH}}{\overline{AI}}=\frac{\overline{DB}}{\overline{MD}}$$

이므로

$$\begin{aligned}\boxed{\text{(나)}}-\overline{IO}^{\,2}&=\overline{AI}\cdot\overline{ID}\\&=\overline{AI}\cdot\overline{BD}\\&=\left(\frac{\overline{IH}}{\sin x}\right)\cdot(\overline{MD}\times\sin x)\end{aligned}$$

$\therefore\overline{IO}=\boxed{\text{(다)}}$

위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]