2005학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

(증명)

$\sqrt[3]2+\sqrt[3]4=m\ (m\text{은 유리수})$라 가정하면

$m=\dfrac qp\ (p,\ q\text{는 서로소인 자연수})$로 놓을 수 있다.

$m=\dfrac qp$를 ㉠에 대입하여 정리하면

$q^3=\boxed{\text{(나)}}\cdot p^2(p+q)\ \cdots\cdots\ \char"3261$

이므로 $q^3$은 $\boxed{\text{(나)}}$의 배수가 된다.

따라서 $q=\boxed{\text{(나)}}k\ (k\text{는 자연수})\ \cdots\cdots\ \char"3262$

로 놓을 수 있으므로 ㉢을 ㉡에 대입하여 정리하면

그런데 $p$, $q$가 모두 짝수가 되므로 $p$, $q$가 서로소라는 가정에 모순이다.

그러므로 $\sqrt[3]2+\sqrt[3]4$는 무리수이다.