30. 그림과 같이 두 점 $F(c,0),F'(-c,0)\ (c>0)$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2a^2}=1$이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 x좌표가 음수인 점을 A라 하고, 점 $F'$을 지나고 x축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제2사분면에 있는 점을 P라 하자. 점 A에서 선분 PF에 내린 수선의 발을 H라 하자. 두 점 A, F를 초점으로 하고 점 H를 지나는 타원이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제4사분면에 있는 점을 Q라 하자. $\overline{AQ}+\overline{F'Q}=6+8\sqrt3$일 때, 이 타원의 장축의 길이는 $p+q\sqrt3$이다. $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $a$는 양수이고, $p,q$는 유리수이다.) [4점]