2026학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 30번

그림과 같이 두 점 $\mathrm{F}\left(c,\,0\right),\,\mathrm{F'}\left(-c,\,0\right)\ \left(c>0\right)$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{2a^2}=1$이 있다. 이 쌍곡선의 꼭짓점 중 $x$좌표가 음수인 점을 $\mathrm{A}$라 하고, 점 $\mathrm{F'}$을 지나고 $x$축에 수직인 직선이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제$2$사분면에 있는 점을 $\mathrm{P}$라 하자. 점 $\mathrm{A}$에서 선분 $\mathrm{PF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{F}$를 초점으로 하고 점 $\mathrm{H}$를 지나는 타원이 이 쌍곡선과 만나는 점 중 제$4$사분면에 있는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. $\overline{\mathrm{AQ}}+\overline{\mathrm{F'}\mathrm{Q}}=6+8\sqrt3$일 때, 이 타원의 장축의 길이는 $p+q\sqrt3$이다. $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $a$는 양수이고, $p$와 $q$는 유리수이다.) [4점]