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좌표평면 위의 두 점 A(6, 0), B(6, 5)\mathrm{A}\left(6,\,0\right),\,\mathrm{B}\left(6,\,5\right)A(6,0),B(6,5)와 음이 아닌 실수 kkk에 대하여 두 점 P, Q\mathrm{P},\,\mathrm{Q}P,Q가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) OP→=k(OA→+OB→)\overrightarrow{\mathrm{OP}}=k\left(\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right)OP=k(OA+OB)이고 OP→⋅OA→≤21\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\le21OP⋅OA≤21이다.
(나) ∣AQ→∣=∣AB→∣\left|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{AB}}\right|AQ=AB이고 OQ→⋅OA→≤21\overrightarrow{\mathrm{OQ}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OA}}\le21OQ⋅OA≤21이다.
OX→=OP→+OQ→\overrightarrow{\mathrm{OX}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}OX=OP+OQ를 만족시키는 점 X\mathrm{X}X가 나타내는 도형의 넓이는 qp3\dfrac qp\sqrt3pq3이다. p+qp+qp+q의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}O는 원점이고, ppp와 qqq는 서로소인 자연수이다.) [4점]
