2012학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 14번

반지름의 길이가 1인 원이 있다. 그림과 같이 가로의 길이와 세로의 길이의 비가 3 : 1인 직사각형을 이 원에 내접하도록 그리고, 원의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자. 그림 $R_1$에서 직사각형의 세 변에 접하도록 원 2개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자. 그림 $R_2$에서 새로 그려진 직사각형의 세 변에 접하도록 원 4개를 그린다. 새로 그려진 각 원에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에서 색칠된 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]