2014학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 15번

$\alpha=\sqrt[3]{2+\sqrt5},\;\beta=\sqrt[3]{2-\sqrt5}$라 두면 $\alpha\beta=\boxed{\text{(\char"AC00 )}}$이다.

$\alpha+\beta=x$라 하면

$(\alpha+\beta)^3=\alpha^3+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2+\beta^3$을 이용하여

삼차방정식 $x^3+3x-4=0$을 얻을 수 있다.

이 방정식의 실근은 $x=1$뿐이므로 $\alpha+\beta=1$이다.

따라서 $\alpha+\beta=1$과 $\alpha\beta=\boxed{\text{(\char"AC00 )}}$인 실수 $\alpha,\;\beta$를 두 근으로 하는 이차방정식은 $\boxed{\phantom{x^2-x-1=0}}$이다.

이 이차방정식의 두 근 $\alpha,\;\beta$가 $\beta<0<\alpha$이므로

$\sqrt[3]{2+\sqrt5}=\boxed{\text{(\char"B098 )}}$이다.