2012학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 27번

그림과 같이 중심이 O이고 길이가 2인 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 점 P에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 Q, 점 Q에서 선분 OP에 내린 수선의 발을 R, 점 O에서 선분 AP에 내린 수선의 발을 S라 하자. $\angle PAQ=\theta\ (0<\theta<\frac\pi4)$일 때, 삼각형 AOS의 넓이를 $f(\theta)$, 삼각형 PRQ의 넓이를 $g(\theta)$라 하자. $\lim_{\theta\to+0}\frac{\theta^2f(\theta)}{g(\theta)}=\frac qp$일 때, $p^2+q^2$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]