다음은 모든 자연수 n 에 대하여 a_n=\sqrt{1\cdot2}+\sqrt{2\cdot3}+\cdots+\sqrt{n(n+1)} 일 때, 부등식 \frac{n(n+1)}2 [증명] (ⅰ) n=1 일 때, 1 (ⅱ) n=k 일 때, \frac{k(k+1)}2 이다. 한편, \sqrt{(k+1)(k+2)}>\boxed{\text{(가)}} 이므로 \frac{k(k+1)}2+\sqrt{(k+1)(k+2)}>\boxed{\text{(나)}} 이다. k+1>0 , k+2>0 이므로 \sqrt{(k+1)(k+2)} 이고, \frac{(k…

파란띠 2기출문제

2008학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

a_n=\sqrt{1\cdot2}+\sqrt{2\cdot3}+\cdots+\sqrt{n(n+1)}

일 때, 부등식 $\frac{n(n+1)}2<a_n<\frac{(n+1)^2}2$ 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

[증명]

(ⅰ) $n=1$ 일 때,

$1<a_1=\sqrt2<2$ 이므로 성립한다.

(ⅱ) $n=k$ 일 때,

$\frac{k(k+1)}2<a_k<\frac{(k+1)^2}2$ 이 성립한다고 가정하면

\frac{k(k+1)}2+\sqrt{(k+1)(k+2)}<a_{k+1}<\frac{(k+1)^2}2+\sqrt{(k+1)(k+2)}

이다.

한편, $\sqrt{(k+1)(k+2)}>\boxed{\text{(가)}}$ 이므로

\frac{k(k+1)}2+\sqrt{(k+1)(k+2)}>\boxed{\text{(나)}}

이다.

$k+1>0$ , $k+2>0$ 이므로

\sqrt{(k+1)(k+2)}<\boxed{\text{(다)}}

이고,

\frac{(k+1)^2}2+\sqrt{(k+1)(k+2)}<\frac{(k+2)^2}2

이다.

그러므로 $n=k+1$ 일 때에도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

(가)~(다)에 알맞은 것을 바르게 짝지은 것은? [4점]

#수학적 귀납법 #추론·증명 #4점 #11월 학력평가 #2008학년도 #2008년 시행 #교육청

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