l-할선과 l-접선

좌표평면 위에 중심이 원점 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C$가 있다. 양수 $l,\,\left(l<2\right)$에 대하여 다음 조건을 만족하는 선분을 생각하자.

집합 $T$에 속하는 점 $\mathrm{P}$에 대하여 점 $\mathrm{P}$를 지나는 $l$-접선의 개수가 유한개일 때 그 개수를 $a\left(\mathrm{P}\right)$라 정의하고, 집합 $S$에 속하는 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 점 $\mathrm{Q}$를 지나는 $l$-할선의 개수가 유한개일 때 그 개수를 $b\left(\mathrm{Q}\right)$라 정의하자. $a\left(\mathrm{P}\right)$가 정의되는 모든 점 $\mathrm{P}$가 나타내는 도형을 $C_1$, $b\left(\mathrm{Q}\right)$가 정의되는 모든 점 $\mathrm{Q}$가 나타내는 도형을 $C_2$라 하자. 두 도형 $C_1,\,C_2$가 나타내는 영역의 넓이를 각각 $A_1,\,A_2$라 할 때,

이다. $C_1$ 위의 임의의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 $a\left(\mathrm{P}\right)=a_0$이고, $C_2$ 위의 임의의 점 $\mathrm{Q}$에 대하여 $b\left(\mathrm{Q}\right)=b_0$이다. 점 $\mathrm{P}$가 $C_1$ 위를 움직이고 점 $\mathrm{Q}$가 $C_2$ 위를 움직일 때, 선분 $\overline{\mathrm{PQ}}$의 길이의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 하자. 이때 $a_0\times b_0\times\left(M^2+m^2\right)\times8$의 값을 구하시오. [4점]