자연수 n 에 대하여 \sqrt n 이 무리수일 때, \sqrt n=a+b\ (a 는 자연수, 0 다음은 a^3-9ab+b^3=0 을 만족시키는 자연수 n 의 값을 구하는 과정이다. \sqrt n=a+b\ (a 는 자연수, 0 b=\sqrt n-a \begin{aligned}a^3-9ab+b^3&=a^3-9a(\sqrt n-a)+(\sqrt n-a)^3\\&=(3a^2-9a+n)\sqrt n+9a^2+(\boxed{\text{(가)}})\times a\\&=0\end{aligned} 무리수가 서로 같을 조건에 의하여 3a^2-9a…

초록띠 3기출문제

2014학년도 11월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 16번

자연수 $n$ 에 대하여 $\sqrt n$ 이 무리수일 때, $\sqrt n=a+b\ (a$ 는 자연수, $0<b<1)$ 라 하자.

다음은 $a^3-9ab+b^3=0$ 을 만족시키는 자연수 $n$ 의 값을 구하는 과정이다.

$\sqrt n=a+b\ (a$ 는 자연수, $0<b<1)$ 이므로

$b=\sqrt n-a$

\begin{aligned}a^3-9ab+b^3&=a^3-9a(\sqrt n-a)+(\sqrt n-a)^3\\&=(3a^2-9a+n)\sqrt n+9a^2+(\boxed{\text{(가)}})\times a\\&=0\end{aligned}

무리수가 서로 같을 조건에 의하여

3a^2-9a+n=0\quad\cdots\ \text{\char"3260}

9a^2+(\boxed{\text{(가)}})\times a=0\quad\cdots\ \text{\char"3261}

㉠, ㉡에서 $n$ 을 소거하면

9a^3+\boxed{\text{(나)}}=0\quad\therefore a=2

따라서 $n=6$

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$ , $g(a)$ 라 할 때, $\dfrac{g(2)}{f(2)}$ 의 값은? [4점]

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