2017학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 나형 17번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$에서 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$과 선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$의 중점을 각각 $\mathrm E_1$, $\mathrm F_1$이라 하자. 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$의 내부와 삼각형 $\mathrm E_1\mathrm F_1\mathrm D_1$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 $\mathrm D_1\mathrm E_1$ 위의 점 $\mathrm A_2$, 선분 $\mathrm D_1\mathrm F_1$ 위의 점 $\mathrm D_2$와 선분 $\mathrm E_1\mathrm F_1$ 위의 두 점 $\mathrm B_2$, $\mathrm C_2$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$를 그리고, 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 삼각형 $\mathrm E_2\mathrm F_2\mathrm D_2$를 그리고 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$의 내부와 삼각형 $\mathrm E_2\mathrm F_2\mathrm D_2$의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]