2020학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 29번

그림과 같이 길이가 $4$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하고 중심이 $\mathrm O$인 원 $C$가 있다. 원 $C$ 위를 움직이는 점 $\mathrm P$에 대하여 $\angle\mathrm{PAB}=\theta$라 할 때, 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\angle\mathrm{APQ}=2\theta$를 만족시키는 점을 $\mathrm Q$라 하자. 직선 $\mathrm{PQ}$가 원 $C$와 만나는 점 중 $\mathrm P$가 아닌 점을 $\mathrm R$라 할 때, 중심이 삼각형 $\mathrm{AQP}$의 내부에 있고 두 선분 $\mathrm{PA}$, $\mathrm{PR}$에 동시에 접하는 원을 $C'$이라 하자. 원 $C'$이 점 $\mathrm O$를 지날 때, 원 $C'$의 반지름의 길이를 $r(\theta)$, 삼각형 $\mathrm{BQR}$의 넓이를 $S(\theta)$라 하자. $\lim_{\theta\to0+}\frac{S(\theta)}{r(\theta)}=a$일 때, $45a$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\frac\pi4$) [4점]