다음은 모든 자연수 n 에 대하여 (1^2+1)\cdot1!+(2^2+1)\cdot2!+\cdots+(n^2+1)\cdot n!=n\cdot(n+1)! 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (1) n=1 일 때, (좌변) =2 , (우변) =2 이므로 주어진 등식은 성립한다. (2) n=k 일 때 성립한다고 가정하면 (1^2+1)\cdot1!+(2^2+1)\cdot2!+\cdots+(k^2+1)\cdot k!=k\cdot(k+1)! 이다. n=k+1 일 때 성립함을 보이자. \begin{aligned}(1^2+1)\cdot…

초록띠 3기출문제

2008학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 공통 11번

다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여

(1^2+1)\cdot1!+(2^2+1)\cdot2!+\cdots+(n^2+1)\cdot n!=n\cdot(n+1)!

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(1) $n=1$ 일 때, (좌변) $=2$ , (우변) $=2$ 이므로 주어진 등식은 성립한다.

(2) $n=k$ 일 때 성립한다고 가정하면

(1^2+1)\cdot1!+(2^2+1)\cdot2!+\cdots+(k^2+1)\cdot k!=k\cdot(k+1)!

이다. $n=k+1$ 일 때 성립함을 보이자.

\begin{aligned}(1^2+1)\cdot1!+(2^2+1)\cdot2!+\cdots+(k^2+1)\cdot k!+\{(k+1)^2+1\}\cdot(k+1)!&=\boxed{\text{(가)}}+\{(k+1)^2+1\}\cdot(k+1)!\\&=\left(\boxed{\text{(나)}}\right)\cdot(k+1)!\\&=(k+1)\cdot\boxed{\text{(다)}}\end{aligned}

그러므로 $n=k+1$ 일 때도 성립한다.

따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 등식은 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점]

\begin{array}{ccc}\underline{\text{(가)}}&\underline{\text{(나)}}&\underline{\text{(다)}}\end{array}

정답률 –풀이 수 –정답 시 +8 Rating

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