2023학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 공통 11번

그림과 같이 두 상수 $a,\,b$에 대하여 함수

의 그래프와 직선 $y=5$가 만나는 점을 $x$좌표가 작은 것부터 차례로 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$라 하자. $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AB}}+6$이고 삼각형 $\mathrm{AOB}$의 넓이가 $\dfrac{15}{2}$일 때, $a^2+b^2$의 값은? (단, $a>4,\,b>0$이고, $\mathrm{O}$는 원점이다.) [4점]