2006학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 15번

세 변의 길이가 모두 다른 $\triangle\mathrm{ABC}$의 내부의 점 $\mathrm P$에서 변 $\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CA}$까지의 거리를 각각 $p,q,r$이라 하자.

다음은 $p\overline{\mathrm{AB}}=q\overline{\mathrm{BC}}=r\overline{\mathrm{CA}}$이면 점 $\mathrm P$가 $\triangle\mathrm{ABC}$의 $\boxed{\text{(가)}}$임을 증명한 것이다.

ⅰ) 점 A에서

선분 AP의 연장선과 변 BC가 만나는 점을 D라 하자.

사인 법칙에 의하여 다음 식이 성립한다.

$$\frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\sin\alpha}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\gamma}$$

$$\frac{\overline{\mathrm{DC}}}{\sin\beta}=\frac{\overline{\mathrm{CA}}}{\sin\delta}$$

따라서

$$\frac{\overline{\mathrm{BD}}}{\overline{\mathrm{DC}}}=\frac{\overline{\mathrm{AB}}\sin\alpha}{\overline{\mathrm{CA}}\sin\beta}=\boxed{\text{(나)}}$$

따라서 선분 AD는 $\triangle\mathrm{ABC}$의 $\boxed{\text{(다)}}$이다.

ⅱ) 점 B, C에서도

위와 같은 방법으로 증명하면,

점 P가 $\triangle\mathrm{ABC}$의 $\boxed{\text{(가)}}$임을 알 수 있다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]