2025학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 28번

이차함수 $f\left(x\right)=\frac12x^2-2x$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{O},\,\mathrm{A}$라 하자. $0<m<2$인 실수 $m$에 대하여 점 $\mathrm{O}$를 지나고 기울기가 $m$인 직선 $l_1$이 이차함수 $y=f\left(x\right)$의 그래프와 만나는 점 중 $\mathrm{O}$가 아닌 점을 $\mathrm{B}$, 점 $\mathrm{A}$를 지나고 기울기가 $m$인 직선 $l_2$가 이차함수 $y=f\left(x\right)$의 그래프와 만나는 점 중 $\mathrm{A}$가 아닌 점을 $\mathrm{C}$라 하자. 두 점 $\mathrm{B},\,\mathrm{C}$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{D},\,\mathrm{E}$라 하고, 두 삼각형 $\mathrm{AEC},\,\mathrm{ADB}$의 넓이를 각각 $S_1,\,S_2$라 하자. $S_1-S_2$의 최댓값을 $\dfrac{q}{p}$라 할 때, $p\times q$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm{O}$는 원점이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]