2008학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

<증명>

에서 $\boxed{\text{(가)}}$의 계수는 ${}_{2n}C_n$이다.

에서 $\boxed{\text{(가)}}$의 계수는 $\sum_{k=0}^n\left({}_nC_k\cdot\boxed{\text{(나)}}\right)$이다.

따라서 ${}_{2n}C_n=({}_nC_0)^2+({}_nC_1)^2+({}_nC_2)^2+\cdots+({}_nC_n)^2$이다.

그런데 $n$이 소수이므로 $\boxed{\text{(다)}}$인 자연수 $k$에 대하여 ${}_nC_k$는 $n$의 배수이다.

따라서 $\boxed{\text{(다)}}$인 자연수 $k$에 대하여 $({}_nC_k)^2$은 $n^2$의 배수이고 ${}_nC_0={}_nC_n=1$이므로 ${}_{2n}C_n-2$는 $n^2$의 배수이다.