2009학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 가형 미분과 적분 30번

그림과 같이 중심각의 크기가 $90^\circ$이고 반지름의 길이가 $1$인 부채꼴 $AOB$와 선분 $OA$ 위를 움직이는 점 $P$가 있다. 선분 $OP$를 한 변으로 하는 정사각형 $OPQR$가 호 $AB$와 서로 다른 두 점 $S$, $T$에서 만날 때, 정사각형 $OPQR$에서 점 $Q$를 중심으로 하고 반지름이 $QS$인 부채꼴 $SQT$를 제외한 어두운 부분의 넓이를 $D$라 하자. $\angle SOT=\theta$라 할 때, $D$가 최대가 되도록 하는 $\theta$에 대하여 $10\pi\tan\theta$의 값을 구하시오. [4점]