2021학년도 대학수학능력시험 수학 영역 가형 16번

모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n<a_{n+1}$이고
곡선 $y=2^x$ 위의 두 점 $\mathrm{P}_n(a_n,2^{a_n})$, $\mathrm{P}_{n+1}(a_{n+1},2^{a_{n+1}})$을 지나는 직선의 기울기는 $k\times2^{a_n}$이다.

두 점 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{P}_{n+1}$을 지나는 직선의 기울기가 $k\times2^{a_n}$이므로

이다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}-a_n$은 방정식 $2^x=kx+1$의 해이다.

$k>1$이므로 방정식 $2^x=kx+1$은 오직 하나의 양의 실근 $d$를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$이고, 수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이다.

점 $\mathrm{Q}_n$의 좌표가 $(a_{n+1},2^{a_n})$이므로

이다. $\dfrac{A_3}{A_1}=16$이므로 $d$의 값은 $\boxed{\text{(가)}}$이고, 수열 $\{a_n\}$의 일반항은

이다. 따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $A_n=\boxed{\text{(다)}}$이다.