밤띠 3기출문제

2021학년도 대학수학능력시험 수학 영역 가형 16번

수학도장2026.09.05

상수 $k\left(k>1\right)$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\left\{a_n\right\}$ 이 있다.

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_n<a_{n+1}$ 이고
곡선 $y=2^x$ 위의 두 점 $\mathrm{P}_n\left(a_n,\,2^{a_n}\right)$ , $\mathrm{P}_{n+1}\left(a_{n+1},\,2^{a_{n+1}}\right)$ 을 지나는 직선의 기울기는 $k\times2^{a_n}$ 이다.

점 $\mathrm{P}_n$ 을 지나고 $x$ 축에 평행한 직선과 점 $\mathrm{P}_{n+1}$ 을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이 만나는 점을 $\mathrm{Q}_n$ 이라 하고 삼각형 $\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{P}_{n+1}$ 의 넓이를 $A_n$ 이라 하자.

다음은 $a_1=1$ , $\dfrac{A_3}{A_1}=16$ 일 때, $A_n$ 을 구하는 과정이다.

두 점 $\mathrm{P}_n$ , $\mathrm{P}_{n+1}$ 을 지나는 직선의 기울기가 $k\times2^{a_n}$ 이므로

2^{a_{n+1}-a_n}=k\left(a_{n+1}-a_n\right)+1

이다. 즉, 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n$ 은 방정식 $2^x=kx+1$ 의 해이다.
$k>1$ 이므로 방정식 $2^x=kx+1$ 은 오직 하나의 양의 실근 $d$ 를 갖는다. 따라서 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$ 이고, 수열 $\left\{a_n\right\}$ 은 공차가 $d$ 인 등차수열이다.
점 $\mathrm{Q}_n$ 의 좌표가 $\left(a_{n+1},\,2^{a_n}\right)$ 이므로