n²−n+1이 7의 배수가 되는 자연수의 규칙

모든 자연수 $n$에 대하여 $n^2-n+1$의 $n$에 $n+7$을 대입하면

이므로 $n$ 대신 $n+7$을 대입해도 $n^2-n+1$을 $7$로 나눈 나머지는 변하지 않는다. $\cdots\cdots$ ㉠

또, $7$ 이하의 자연수 $n$에 대하여 $8-n$도 $7$ 이하의 자연수이고, $n^2-n+1$의 $n$에 $8-n$을 대입하면

이므로 $n$ 대신 $8-n$을 대입해도 $n^2-n+1$을 $7$로 나눈 나머지는 변하지 않는다. $\cdots\cdots$ ㉡

$n^2-n+1$의 $n$에 $1$, $2$, $3$, $4$를 차례로 대입한 값을 $7$로 나눈 나머지는 $1$, $3$, $0$, $\boxed{\,\text{(다)}\,}$이므로, ㉡에 의하여 $7$ 이하의 자연수 $n$ 중에서 $n^2-n+1$이 $7$의 배수인 것은 $n=3$, $n=5$뿐이다.

모든 자연수 $n$은 음이 아닌 정수 $q$와 $7$ 이하의 자연수 $r$에 대하여 $n=7q+r$로 나타낼 수 있고, ㉠을 거듭 쓰면 $n^2-n+1$을 $7$로 나눈 나머지는 $r^2-r+1$을 $7$로 나눈 나머지와 같다. 따라서 $n^2-n+1$이 $7$의 배수인 자연수 $n$은 $7$로 나눈 나머지가 $3$ 또는 $5$인 수 $3,\,5,\,10,\,12,\,17,\,19,\,\cdots$이고, $3$, $5$에서 시작하여 $7$을 주기로 되풀이된다.