2022학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 29번

두 점 $\mathrm{F}_1\left(4,\,0\right),\,\mathrm{F}_2\left(-6,\,0\right)$에 대하여 포물선 $y^2=16x$ 위의 점 중 제$1$사분면에 있는 점 $\mathrm{P}$가 $\overline{\mathrm{PF}_2}-\overline{\mathrm{PF}_1}=6$을 만족시킨다.
포물선 $y^2=16x$ 위의 점 $\mathrm{P}$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{F}_3$이라 하면 두 점 $\mathrm{F}_1,\,\mathrm{F}_3$을 초점으로 하는 타원의 한 꼭짓점은 선분 $\mathrm{PF}_3$ 위에 있다. 이 타원의 장축의 길이가 $2a$일 때, $a^2$의 값을 구하시오. [4점]