2015학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 A형 17번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{AC}}=5$, $\overline{\mathrm{BC}}=6$인 이등변삼각형 $\mathrm{ABC}$가 있다.

선분 $\mathrm{BC}$의 중점 $\mathrm M_1$을 잡고 두 선분 $\mathrm{AB},\mathrm{AC}$ 위에 각각 점 $\mathrm B_1,\mathrm C_1$을 $\angle\mathrm B_1\mathrm M_1\mathrm C_1=90^\circ$이고 $\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}\parallel\overline{\mathrm{BC}}$가 되도록 잡아 직각삼각형 $\mathrm B_1\mathrm M_1\mathrm C_1$을 만든다.

선분 $\mathrm B_1\mathrm C_1$의 중점 $\mathrm M_2$를 잡고 두 선분 $\mathrm A\mathrm B_1,\mathrm A\mathrm C_1$ 위에 각각 점 $\mathrm B_2,\mathrm C_2$를 $\angle\mathrm B_2\mathrm M_2\mathrm C_2=90^\circ$이고 $\overline{\mathrm B_2\mathrm C_2}\parallel\overline{\mathrm B_1\mathrm C_1}$이 되도록 잡아 직각삼각형 $\mathrm B_2\mathrm M_2\mathrm C_2$를 만든다.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 만든 직각삼각형 $\mathrm B_n\mathrm M_n\mathrm C_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]