2004학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 15번

i) $k=1$일 때,

임의의 자연수 $n$에 대하여 주어진 등식은 성립하지 않는다.

ii) $k=2$일 때,

$\dfrac{2n(2n+1)}2=\dfrac16n(n+1)(2n+1)$이므로

iii) $k\ge3$일 때,

즉, $\dfrac{2n(2n+1)}2\ge\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2$이므로

이 때, $8(n+1)>4(2n+1)$이므로

그러므로, $n\le2$일 때만 주어진 등식이 성립할 수 있다. 그런데,

$n=1$이면 등식 $1+2=1^k$은 성립하지 않는다.

$n=2$이면 등식 $1+2+3+4=1^k+2^k$은 성립하지 않는다.

따라서, i), ii), iii)에서 주어진 등식을 만족하는 $n$, $k$의 값은 $n=\boxed{\text{(가)}}$, $k=2$뿐이다.