빨간띠 4기출문제

2025학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 30번

두 양수 $a,\,b$ 에 대하여 이차함수 $f\left(x\right)=\frac14\left(x-4\right)^2+a$ 와 두 일차함수 $g\left(x\right)=bx+7$ , $h\left(x\right)=-\frac1b x+7$ 이 있다. 세 함수 $f\left(x\right)$ , $g\left(x\right)$ , $h\left(x\right)$ 와 두 실수 $\alpha,\,\beta\;\left(\alpha<\beta\right)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

모든 실수 $x$ 에 대하여

\left\{f\left(x\right)-g\left(x\right)\right\}\left\{f\left(x\right)-h\left(x\right)\right\}=\frac1{16}\left(x-\alpha\right)^n\left(x-\beta\right)^{4-n}

을 만족시키는 자연수 $n$ 이 존재한다. (단, $1\le n\le3$ )

네 점 $\mathrm{A}\left(\alpha,\,f\left(\alpha\right)\right)$ , $\mathrm{B}\left(\beta,\,f\left(\beta\right)\right)$ , $\mathrm{C}\left(\alpha,\,0\right)$ , $\mathrm{D}\left(\beta,\,0\right)$ 에 대하여 사각형 $\mathrm{ACDB}$ 의 넓이의 최댓값을 $M$ , 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m=p+q\sqrt5$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 유리수이다.) [4점]