2014학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 B형 19번

그림과 같이 중심이 $\mathrm O$이고 길이가 $2$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 $\mathrm{AB}$ 위를 움직이는 점 $\mathrm P$에 대하여 $\angle\mathrm{AOP}=\theta$ $\left(0<\theta<\frac\pi2\right)$일 때, 세 점 $\mathrm A$, $\mathrm O$, $\mathrm P$를 지나는 원의 넓이를 $f(\theta)$, 세 점 $\mathrm B$, $\mathrm O$, $\mathrm P$를 지나는 원의 넓이를 $g(\theta)$라 하자.

$\lim\limits_{\theta\to\frac\pi2-0}\frac{g(\theta)-f(\theta)}{\frac\pi2-\theta}$의 값은? [4점]