2009학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 가형 공통 12번

자연수 $n$과 $0\le p<r\le n+1$, $0\le q<s\le n$을 만족시키는 네 정수 $p,q,r,s$에 대하여 좌표평면에서 네 점 $\mathrm A(p,q),B(r,q),C(r,s),D(p,s)$를 꼭짓점으로 하고 넓이가 $k^2$인 정사각형의 개수를 $a_k$라고 하자. 다음은 $\displaystyle\sum_{k=1}^n a_k$의 값을 구하는 과정이다. (단, $k$는 $n$ 이하의 자연수이다.)

그림과 같이 넓이가 $k^2$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$를 만들 때, 두 점 $\mathrm A,B$의 $y$좌표가 주어지면 $x$좌표의 차가 $r-p=k$인 변 $\mathrm{AB}$를 택하는 경우의 수는 $\boxed{\text{(가)}}$이다. 또 두 점 $\mathrm A,D$의 $x$좌표가 주어지면 $y$좌표의 차가 $s-q=k$인 변 $\mathrm{AD}$를 택하는 경우의 수는 $\boxed{\text{(나)}}$이다. 따라서

$$a_k=(n+1)(n+2)-(2n+3)k+k^2$$

이다. 그러므로

$$\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n\{(n+1)(n+2)-(2n+3)k+k^2\}=\boxed{\text{(다)}}$$

(가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [3점]

$\begin{array}{ccc}\text{(가)}&\text{(나)}&\text{(다)}\end{array}$