2013학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수리 영역 가형 12번

한 변의 길이가 $3$인 정삼각형 AB₁C₁이 있다. 그림과 같이 선분 AB₁과 선분 AC₁을 $2:1$로 내분하는 점을 각각 B₂, C₂라 하고, 선분 B₂C₂를 지름으로 하는 원의 호 B₂C₂와 선분 B₁C₁로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_1$이라 하자.

정삼각형 AB₂C₂에서 선분 AB₂와 선분 AC₂를 2:1로 내분하는 점을 각각 B₃, C₃이라 하고, 선분 B₃C₃을 지름으로 하는 원의 호 B₃C₃과 선분 B₂C₂로 둘러싸인 부분의 넓이를 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [3점]