2021학년도 대학수학능력시험 수학 영역 가형 14번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}_1}=2$, $\overline{\mathrm{AD}_1}=4$인 직사각형 $\mathrm{AB}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$이 있다. 선분 $\mathrm{AD}_1$을 $3:1$로 내분하는 점을 $\mathrm{E}_1$이라 하고, 직사각형 $\mathrm{AB}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$의 내부에 점 $\mathrm{F}_1$을 $\overline{\mathrm{F}_1\mathrm{E}_1}=\overline{\mathrm{F}_1\mathrm{C}_1}$, $\angle\mathrm{E}_1\mathrm{F}_1\mathrm{C}_1=\frac{\pi}2$가 되도록 잡고 삼각형 $\mathrm{E}_1\mathrm{F}_1\mathrm{C}_1$을 그린다. 사각형 $\mathrm{E}_1\mathrm{F}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{AB}_1$ 위의 점 $\mathrm{B}_2$, 선분 $\mathrm{E}_1\mathrm{F}_1$ 위의 점 $\mathrm{C}_2$, 선분 $\mathrm{AE}_1$ 위의 점 $\mathrm{D}_2$와 점 $\mathrm{A}$를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\mathrm{AB}_2}:\overline{\mathrm{AD}_2}=1:2$인 직사각형 $\mathrm{AB}_2\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{AB}_2\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$에 삼각형 $\mathrm{E}_2\mathrm{F}_2\mathrm{C}_2$를 그리고 사각형 $\mathrm{E}_2\mathrm{F}_2\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]