2007학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 16번

그림과 같이 세 변의 길이가 $\overline{\mathrm{OA}_1}=8$, $\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}=6$, $\overline{\mathrm{OB}_1}=10$인 직각삼각형 $\mathrm{OA}_1\mathrm{B}_1$에 내접하는 원 $C_1$을 만든다. 원 $C_1$에 접하면서 변 $\mathrm{OA}_1$에 수직인 직선이 두 변 $\mathrm{OA}_1$, $\mathrm{OB}_1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}_2$, $\mathrm{B}_2$라 하고, $\triangle\mathrm{OA}_2\mathrm{B}_2$에 내접하는 원 $C_2$를 만든다.

원 $C_2$에 접하면서 변 $\mathrm{OA}_1$에 수직인 직선이 두 변 $\mathrm{OA}_1$, $\mathrm{OB}_1$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A}_3$, $\mathrm{B}_3$이라 하고, $\triangle\mathrm{OA}_3\mathrm{B}_3$에 내접하는 원 $C_3$을 만든다.

이와 같은 과정을 한없이 계속하여 만든 원 $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\cdots$의 넓이를 각각 $S_1$, $S_2$, $S_3$, $\cdots$이라 할 때, 무한급수 $\sum\limits_{n=1}^\infty S_n$의 합은? [4점]