2022학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 기하 30번

그림과 같이 두 점 $\mathrm F(c,0)$, $\mathrm F\prime(-c,0)$($c>0$)을 초점으로 하는 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{10}-\dfrac{y^2}{a^2}=1$이 있다. 쌍곡선 위의 점 중 제$2$사분면에 있는 점 $\mathrm P$에 대하여 삼각형 $\mathrm F\prime\mathrm{FP}$는 넓이가 $15$이고 $\angle\mathrm F\prime\mathrm{PF}=\dfrac\pi2$인 직각삼각형이다. 직선 $\mathrm{PF}\prime$과 평행하고 쌍곡선에 접하는 두 직선을 각각 $l_1$, $l_2$라 하자. 두 직선 $l_1$, $l_2$가 $x$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm Q_1$, $\mathrm Q_2$라 할 때, $\overline{\mathrm Q_1\mathrm Q_2}=\dfrac qp\sqrt3$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이고 $a$는 양수이다.) [4점]