2011학년도 대학수학능력시험 수리 영역 가형 10번

$\overline{A_1B_1}=1$, $\overline{B_1C_1}=2$인 직사각형 $A_1B_1C_1D_1$이 있다. 그림과 같이 선분 $B_1C_1$의 중점을 $M_1$이라 하고, 선분 $A_1D_1$ 위에 $\angle A_1M_1B_2=\angle C_2M_1D_1=15^\circ$, $\angle B_2M_1C_2=60^\circ$가 되도록 두 점 $B_2$, $C_2$를 정한다. 삼각형 $A_1M_1B_2$의 넓이와 삼각형 $C_2M_1D_1$의 넓이의 합을 $S_1$이라 하자.

사각형 $A_2B_2C_2D_2$가 $\overline{B_2C_2}=2\overline{A_2B_2}$인 직사각형이 되도록 그림과 같이 두 점 $A_2$, $D_2$를 정한다. 선분 $B_2C_2$의 중점을 $M_2$라 하고, 선분 $A_2D_2$ 위에 $\angle A_2M_2B_3=\angle C_3M_2D_2=15^\circ$, $\angle B_3M_2C_3=60^\circ$가 되도록 두 점 $B_3$, $C_3$을 정한다. 삼각형 $A_2M_2B_3$의 넓이와 삼각형 $C_3M_2D_2$의 넓이의 합을 $S_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 $S_n$에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]