2006학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 17번

그림과 같이 원점을 지나고 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 $\theta$인 직선 $l$이 있다.

점 $\mathrm P_1(1,0)$을 지나고 직선 $l$과 평행한 직선 위에 선분의 길이가 $\overline{\mathrm{OP_1}}=\overline{\mathrm{P_1Q_1}}$이 되는 점 $\mathrm Q_1$을 선택하자.

점 $\mathrm Q_1$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm P_2$라 하고, 점 $\mathrm P_2$를 지나고 직선 $l$에 평행한 직선 위에 선분의 길이가 $\overline{\mathrm{P_1P_2}}=\overline{\mathrm{P_2Q_2}}$가 되는 점 $\mathrm Q_2$를 선택하자.

점 $\mathrm Q_2$에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $\mathrm P_3$이라 하고, 점 $\mathrm P_3$을 지나고 직선 $l$에 평행한 직선 위에 선분의 길이가 $\overline{\mathrm{P_2P_3}}=\overline{\mathrm{P_3Q_3}}$이 되는 점 $\mathrm Q_3$을 선택하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 두 점 $\mathrm P_n$, $\mathrm Q_n$에 대하여 선분 $\mathrm{P_nQ_n}$의 길이를 $a_n$이라 하자.

$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=4$일 때, $\cos\theta$의 값은? (단, $0<\theta<\frac\pi2$이다.) [4점]

문제 그림 보조 원본: LegendStudy (블로그 보관 PDF)