2019학년도 9월 모의평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=3$, $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=1$인 직사각형 $\mathrm{OA_1B_1C_1}$이

있다. 중심이 $\mathrm C_1$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{B_1C_1}}$인 원과 선분

$\mathrm{OC_1}$의 교점을 $\mathrm D_1$, 중심이 $\mathrm O$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OD_1}}$인

원과 선분 $\mathrm{A_1B_1}$의 교점을 $\mathrm E_1$이라 하자. 직사각형 $\mathrm{OA_1B_1C_1}$에

호 $\mathrm{B_1D_1}$, 호 $\mathrm{D_1E_1}$, 선분 $\mathrm{B_1E_1}$로 둘러싸인 모양의

도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 선분 $\mathrm{OA_1}$ 위의 점 $\mathrm A_2$와 호 $\mathrm{D_1E_1}$ 위의 점 $\mathrm B_2$,

선분 $\mathrm{OD_1}$ 위의 점 $\mathrm C_2$와 점 $\mathrm O$를 꼭짓점으로 하고

$\overline{\mathrm{A_2B_2}}:\overline{\mathrm{B_2C_2}}=3:1$인 직사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$를 그리고, 그림

$R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$에

모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어

있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]