2020학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는 세 군데이므로 숫자 $2$는 많아야 세 번 사용할 수 있다.

(ⅰ) 숫자 $2$를 한 번 사용한 경우

$2$를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 $1$, $1$, $1$, $1$, $1$, $3$ 또는 $1$, $1$, $1$, $1$, $3$, $3$ 또는 $1$, $1$, $1$, $3$, $3$, $3$ 또는 $1$, $1$, $3$, $3$, $3$, $3$ 또는 $1$, $3$, $3$, $3$, $3$, $3$을 나열한 것이므로 그 경우의 수는

$\boxed{\text{(\char"AC00 )}}$이다.

$2$를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 ${}_3\mathrm C_1$이다.

그러므로 숫자 $2$를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는

$\boxed{\text{(\char"B098 )}}$이다.

(ⅱ) 숫자 $2$를 두 번 사용한 경우

$\vdots$ (중략)

(ⅲ) 숫자 $2$를 세 번 사용한 경우

$2$를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 $1$, $3$을 모두 한 번 이상씩 사용하여 나열한 것이므로 그 경우의 수는 $\boxed{\text{(\char"B2E4 )}}$이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는 $290$이다.