역함수 방정식의 근의 부호 비교

상수 $a,\ b,\ c$와 상수 $k\,(k>0)$에 대하여 함수

는 실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수이고, 함수 $f(x)$와 그 역함수 $f^{-1}(x)$가 모든 실수 $m\,(m>0)$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

$k\times(a^2+b^2+c^2)$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0$)