2022학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 미적분 27번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1}=1,\,\overline{\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1}=2$인 직사각형 $\mathrm{A}_1\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1$이 있다. 선분 $\mathrm{A}_1\mathrm{D}_1$의 중점 $\mathrm{E}_1$에 대하여 두 선분 $\mathrm{B}_1\mathrm{D}_1,\,\mathrm{C}_1\mathrm{E}_1$이 만나는 점을 $\mathrm{F}_1$이라 하자. $\overline{\mathrm{G}_1\mathrm{E}_1}=\overline{\mathrm{G}_1\mathrm{F}_1}$이 되도록 선분 $\mathrm{B}_1\mathrm{D}_1$ 위에 점 $\mathrm{G}_1$을 잡아 삼각형 $\mathrm{G}_1\mathrm{F}_1\mathrm{E}_1$을 그린다. 두 삼각형 $\mathrm{C}_1\mathrm{D}_1\mathrm{F}_1,\,\mathrm{G}_1\mathrm{F}_1\mathrm{E}_1$로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{B}_1\mathrm{F}_1$ 위의 점 $\mathrm{A}_2$, 선분 $\mathrm{B}_1\mathrm{C}_1$ 위의 두 점 $\mathrm{B}_2,\,\mathrm{C}_2$, 선분 $\mathrm{C}_1\mathrm{F}_1$ 위의 점 $\mathrm{D}_2$를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2}:\overline{\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2}=1:2$인 직사각형 $\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$를 그린다. 직사각형 $\mathrm{A}_2\mathrm{B}_2\mathrm{C}_2\mathrm{D}_2$에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [3점]