빨간띠 3수능형

접선의 개수로 정의한 함수와 두 접선이 만드는 삼각형

최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수 $f(x)$ 에 대하여 점 $(0,\,k)$ 에서 곡선 $y=f(x)$ 에 그은 접선의 개수를 $h(k)$ 라 하자. 함수 $F(x)$ 를 다음과 같이 정의한다.

F(x)=\int_0^x\{h(2^s)-2\}\,ds

함수 $f(x)$ 와 $F(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\,dx=0$

(나) 함수 $F(x)$ 의 극댓값은 $-2$ 이다.

$h(m)=2$ 인 최대의 $m$ 에 대하여 점 $(0,\,m)$ 에서 그은 두 접선의 접점을 $x$ 좌표가 큰 것부터 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ , 직선 $\mathrm{AB}$ 와 곡선의 다른 교점을 $\mathrm{C}$ 라 하자. 곡선 위의 점 $\mathrm{E}\,(\mathrm{E}\ne\mathrm{C})$ 에서의 접선이 $\mathrm{C}$ 를 지나고, $\mathrm{A}$ , $\mathrm{E}$ 에서의 두 접선이 $\mathrm{Q}$ 에서 만날 때, 삼각형 $\mathrm{QBC}$ 의 넓이를 구하시오.