2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 기하 29번

좌표공간에 점 $(4,3,2)$를 중심으로 하고 원점을 지나는 구

가 있다. 구 $S$ 위의 점 $\mathrm P(a,b,7)$에 대하여 직선 $\mathrm{OP}$를 포함하는 평면 $\alpha$가 구 $S$와 만나서 생기는 원을 $C$라 하자. 평면 $\alpha$와 원 $C$가 다음 조건을 만족시킨다.

$a^2+b^2<25$일 때, 원 $C$의 $xy$평면 위로의 정사영의 넓이는 $k\pi$이다. $8k^2$의 값을 구하시오. (단, $\mathrm O$는 원점이다.) [4점]