2019학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 가형 27번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=3$, $\overline{\mathrm{BC}}=4$인 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 선분 $\mathrm{AC}$를 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm D$, 선분 $\mathrm{AC}$를 $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm E$라 하자. 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm F$라 하고, 두 선분 $\mathrm{BE}$, $\mathrm{DF}$의 교점을 $\mathrm G$라 하자. $\overrightarrow{\mathrm{AG}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BE}}=0$일 때, $\cos(\angle\mathrm{ABC})=\frac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]