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직각삼각형 AP1P2\mathrm{AP}_1\mathrm P_2AP1P2는 ∠AP1P2\angle\mathrm{AP}_1\mathrm P_2∠AP1P2가 직각이고 AP1‾=P1P2‾=1\overline{\mathrm{AP}_1}=\overline{\mathrm P_1\mathrm P_2}=1AP1=P1P2=1이라 하자. 222 이상의 자연수 nnn에 대하여 직각삼각형 APnPn+1\mathrm{AP}_n\mathrm P_{n+1}APnPn+1을 ∠APnPn+1\angle\mathrm{AP}_n\mathrm P_{n+1}∠APnPn+1이 직각이고 PnPn+1‾=2Pn−1Pn‾\overline{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}=2\overline{\mathrm P_{n-1}\mathrm P_n}PnPn+1=2Pn−1Pn이 되도록 그린다. 이때 limn→∞(PnPn+1‾APn‾)2\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{\overline{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}}{\overline{\mathrm{AP}_n}}\right)^2n→∞lim(APnPnPn+1)2의 값은?
