2017학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

그림과 같이 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 $\mathrm{A_1B_1C_1}$이 있다. 세 선분 $\mathrm{A_1B_1}$, $\mathrm{B_1C_1}$, $\mathrm{C_1A_1}$의 중점을 각각 $\mathrm{L_1}$, $\mathrm{M_1}$, $\mathrm{N_1}$이라 하고, 중심이 $\mathrm{M_1}$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{M_1N_1}}$이고 중심각의 크기가 $60^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{M_1N_1L_1}$을 그린 후 부채꼴 $\mathrm{M_1N_1L_1}$의 호 $\mathrm{N_1L_1}$과 두 선분 $\mathrm{A_1L_1}$, $\mathrm{A_1N_1}$로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 $T_1$이라 하자. 두 정삼각형 $\mathrm{L_1B_1M_1}$과 $\mathrm{N_1M_1C_1}$에 도형 $T_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 각각의 부채꼴의 호와 두 선분으로 둘러싸인 부분인 모양의 도형을 각각 $T_2$, $T_3$이라 하자. 정삼각형 $\mathrm{A_1B_1C_1}$에서 세 도형 $T_1$, $T_2$, $T_3$으로 이루어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 부채꼴 $\mathrm{M_1N_1L_1}$의 호 $\mathrm{N_1L_1}$을 이등분하는 점을 $\mathrm{A_2}$라 할 때, 부채꼴 $\mathrm{M_1N_1L_1}$에 내접하는 정삼각형 $\mathrm{A_2B_2C_2}$를 그리고 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]