2007학년도 10월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 17번

다음과 같이 좌표평면 위에 단계별로 $x$좌표와 $y$좌표가 음이 아닌 정수인 점을 표시한다.

[1단계]에서는 원점과 $x$좌표와 $y$좌표의 합이 $1$인 점들을 표시하고, [2단계]에서는 [1단계]의 점에 $x$좌표와 $y$좌표의 합이 $2$인 점들을 추가로 표시한다.

이와 같은 방법으로 [$n$단계]에서는 [$n-1$단계]의 점에 $x$좌표와 $y$좌표의 합이 $n$ ($n=2,3,4,\cdots$)인 점들을 추가로 표시한다.

이때, [$n$단계]에 있는 모든 점의 개수를 $a_n$, [$n$단계]에 있는 점들을 꼭지점으로 하는 정사각형 중에서 원점을 한 꼭지점으로 하고 넓이가 최대인 정사각형의 내부 및 둘레에 있는 모든 점의 개수를 $b_n$이라 하자. 예를 들어 $a_4=15$, $b_4=9$이다.

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{2n}}{b_{2n}}$의 값은? [4점]