2023학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 공통 7번

그림과 같이 직선 $y=mx+2\;\left(m>0\right)$이 곡선 $y=\dfrac13\left(\dfrac12\right)^{x-1}$과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, 직선 $y=mx+2$가 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{B},\,\mathrm{C}$라 하자. $\overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AC}}=2:1$일 때, 상수 $m$의 값은? [3점]