2017학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$이 있다.

정사각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1$에 내접하는 원 $O_1$과 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다.

원 $O_1$의 내부와 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$을 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 원 $O_1$의 내부의 색칠하지 않은 부분인 모양의 도형 내부에 원 $O_1$의 중심을 지나고 선분 $\mathrm A_1\mathrm B_1$에 평행한 직선 위의 두 점 $\mathrm A_2$, $\mathrm B_2$와 원 $O_1$ 위의 두 점 $\mathrm C_2$, $\mathrm D_2$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$를 그린다.

정사각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2$에 내접하는 원 $O_2$와 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원을 그린다.

원 $O_2$의 내부와 선분 $\mathrm A_2\mathrm B_2$를 지름으로 하는 원의 위쪽 반원의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에서 원 $O_2$의 내부의 색칠하지 않은 부분인 모양의 도형 내부에 그림 $R_1$에서 그림 $R_2$를 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]