접선이 수직인 두 곡선과 함수의 결정

좌표평면 위에 함수 $f(x)=-\ln\left|e^x-1\right|$의 그래프와 실수 전체의 집합에서 정의되고 $x=0$에서 연속이며 $g(0)=0$인 함수 $g(x)$의 그래프가 있다. $0$이 아닌 모든 실수 $t$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점 $(t,f(t))$에서의 접선과 함수 $y=g(x)$의 그래프 위의 점 $(t,g(t))$에서의 접선이 서로 수직이다. $x>0$에서 정의된 함수 $h(x)$가

일 때, $h(4)\times h(9)$의 값을 구하시오.