2013학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수리 영역 나형 19번

닫힌 구간 $[0,2]$에서 정의된 함수

에 대하여 곡선 $y=f(x)$와 직선 $y=x$의 교점 중 원점 O가 아닌 점을 A라 하자. 점 P가 원점으로부터 점 A까지 곡선 $y=f(x)$ 위를 움직일 때, 삼각형 OAP의 넓이가 최대가 되는 점 P의 $x$좌표가 $\frac12$이다. 상수 $a$의 값은?

[4점]