2018학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 나형 19번

$(x+a^2)^n$의 전개식에서 $x^{n-1}$의 계수는 $a^2n$이다.

$(x^2-2a)(x+a)^n=x^2(x+a)^n-2a(x+a)^n$에서 $x^2(x+a)^n$을 전개하면 $x^{n-1}$의 계수는 $\boxed{\text{(\char44032 )}}\times a^3$이고, $2a(x+a)^n$을 전개하면 $x^{n-1}$의 계수는 $2a^2n$이다.

따라서 $(x^2-2a)(x+a)^n$의 전개식에서 $x^{n-1}$의 계수는

이다. 그러므로

이고, 이 식을 정리하여 $a$를 $n$에 관한 식으로 나타내면

이다. 여기서 $a$는 자연수이고 $n$은 $4$ 이상의 자연수이므로

이다.